2015 Equipo 7 Matemática Avanzada: Definición de Limites

Definición de limites:

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Limite de una función:

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. El punto c es punto de acumulación del dominio de la función.¹Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$\lim_{x\to c} \, \, f(x) = L$

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

$\lim_{n\to \infty} x_n = c \Rightarrow \lim_{n\to \infty} f(x_n) = f(c)$

Sustitución Directa

lim x¬ -1

3x² – 4
Se sustituye la x por el -1, se saca el cuadrado de este numero, se multiplica por tres y se le resta el 4, dando así como resultado: -1

lim x¬ -1

5x² – 3x
2x
Igual que en la anterior, se sustituyen los valores de x por el -1 , se obtiene el cuadrado del digito, se multiplica, se le resta el 3multiplicado por x, y el resultado se divide entre 2 multiplicado por x, dando como resultado: -4

lim x¬ 2

4x² – 8x²

Se sustituyen los valores de x por el 2, se obtienen los cuadrados, luego las multiplicaciones de 4(4) y 8(4), una vez obtenidas, al resultado de 4(4) se le resta el de 8(4), dando como resultado: -16

Limite por aproximación

lim x¬ 4

4x²- 5

Se crean dos tablas como las siguientes donde se le dan valores inventados a x, se resuelve la ecuación anterior y dan como resultado y, al final, se podrá apreciar al número al cual es aproxima la ecuación

X		Y
3.8	52.76	4.3	68.96
3.6	55.84	4.2	65.56
3.99	58.68	4.1	62.24
3.999	58.96	4.01	59.32

Como se puede apreciar, la aproximación es 59

lim x¬ -1

3x² – 4

X		Y
.8	-2.08	1.3	1.07
.9	-1.57	1.2	0.32
.99	-1.05	1.1	-0.37
.999	-1.005	1.01	-0.93

Como se puede apreciar, la aproximación es a -1

lim x¬ 2

x²- 2
x – 3

X		Y
1.6	-0.4	2.5	-8.5
1.7	-0.684	2.4	-6.266
1.8	-1.0333	2.3	-4.7
1.9	-1.4636	2.2	-3.55
1.99	-1.9406	2.1	-2.67

Como se puede ver en la tabla, la aproximación es a 2

NOTA: En Limite de aproximación, se pueden agregar el número de valores que uno desee, con el fin de acercarse lo mayor posible a la aproximación

Limite de una sucesión:

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto