PROBLEMA EXPOSICIÓN

Un rectángulo tiene 420m de perímetro. ¿Cuales son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

MÁXIMOS:

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuándo su imagen (la altura) es mayor que todas las imágenes de los puntos de alrededor.

Un máximo se llamará absoluto cuándo su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que están alrededor.

MÍNIMOS:

 

Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuándo su imagen (la altura) es menor que todas las imágenes de los puntos de alrededor.

Un mínimo se llamará absoluto cuándo su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que están alrededor.

PASOS PARA CALCULAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. Se deriva la función.
2. Se iguala a cero y resolvemos la función. A los resultados se les llama puntos críticos, pueden ser los puntos máximos o mínimos de una función.
3. Se analiza los valores cercanos a los puntos críticos en la derivada de una función:

• Si la pendiente de la función pasa de positivo a negativo, entonces tiene un máximo.
• Si la pendiente de la función pasa de negativa a positiva, entonces tiene un mínimo.
• Si la función no cambia de signo, entonces no hay puntos máximos ni mínimos.

     4. Obtener las coordenadas de los máximos y mínimos.

EJEMPLOS:

1.  f(x) = x³ − 3x + 2
   f'(x) = 3x² − 3 = 0      x = − 1      x = 1
   Candidatos a extremos: − 1 y 1.
   f''(x) = 6x
   f''(−1) = −6 < 0       Máximo
   f''(1) = 6 > 0            Mínimo
   f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4
   f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0
   Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

   

  2.  

Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f"( − 1) = 6 > 0      Mínimo

f"(1) = − 6 < 0      Máximo

f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2

f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2

Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

3. 

Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.

f(−2) = (−2)⁴ − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13

f(0) = 0⁴ − 8 · 0² + 3 = 3

f(2) = 2 ⁴ − 8 · 2² + 3 = − 13

Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)Mínimo(0, 3)

Derivadas

La derivada de una constante es igual a cero

A)  f(x)= 1,563,213    y'= 0

B)  f(x)=4/7        y'=0

C)  f(x)= 25.5    y'=0

En estos casos todas las “ y' “ dan 0, ¿por qué? Por que en los ejemplos anteriores al no tener una “x”  con potencia, esta no se multiplica por el cociente, lo cual hace que sea que se multiplique por un “0” imaginario, lo cual da cero.

La derivada de x es 1

 A)  f(x)=x   y'=1

 En este caso la única opción que puede ser es es ese ejemplo ya que es la única forma que da a uno.
Estando “x” sola sabemos que imaginariamente hay un 1 antes de x y otro uno después de x, ya que si no estaría otro numero, ya sabiendo esto, se multiplica la potencia por el cociente la cual el resultado seria 1.
 
Derivada de una constante por una función

a) f(x)= 4x³

b) f(x)= -2x³

c) f(x)= -4x^-4

Para resolverlas, se multiplica el número por la potencia, en el caso del inciso a) seria multiplicar el 4 por la potencia ³ dando como resultado 12, teniendo ese resultado, a la x³ se le resta 1 a la potencia, es este caso quedaría x² . El resultado final sería 12x² .
En los siguientes casos se aplica lo mismo, solo utilizando la ley de signos, los resultados quedarían así:

a)    y^l= 12x2

b)    y^l= -6x²

c)     y^l= 16x^-5

La derivada de una suma

a) f(x)= x⁵+x⁶

b) f(x)=4x³+2x⁶

c) f(x)= -3x² +x⁴ -10x

Para resolverlas sería igual que en los casos anteriores, en el inciso a), se multiplicaría la potencia  ⁵ por el 1 de la x, aunque no lo tiene representado, sabemos que lo posee, quedando 5x, le restamos a la potencia 1 y quedaría 5x⁴, lo que falta es hacer lo mismo con la otra derivada, sabemos que x es positivo, y su potencia  ⁶ también es positivo entonces quedaría 6x⁵. Con las demás se hace lo mismo, en el caso del inciso c) lo único que cambia es que son 3 derivadas, pero el procedimiento es el mismo, sin importar cuantos tengamos que hacer, pero respetando las reglas de las derivadas y los signos de estas, dando como sus resultados:

a)    y^l= 5x⁴+6x⁵

b)    y^l= 12x²+12x⁵

c)     y^l= -6x+4x³-10

Derivada de una potencia

La derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

f(x)=vⁿ                                          f^I(x)=un^n-1 * u^I

Ejemplos:

·         f(x)=x⁴     f^I(x)=4x³

·         f(x)=x^-4    f^I(x)=-4x^-5

·         f(x)=x⁵    f^I(x)=5x⁴

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

f(x)=u*v            f^I(x)=u*v^I+u^I*v

Ejemplos:

·         f(x)=-5x                              f^I(x)=-5

·         f(x)=(x¹-1)(x³+3x)             f^I(x)=2x(x²+3x)+(x²-1)(3x²+3)

·         f(x)=(5x²-3)(x²+x+4)        f^I(x)=20x³+15x²+34x-3

Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

FÓRMULA


EJEMPLOS:

1°

RESULTADO=

2°

RESULTADO

3°