MÁXIMOS Y MÍNIMOS

MÁXIMOS:

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuándo su imagen (la altura) es mayor que todas las imágenes de los puntos de alrededor.

Un máximo se llamará absoluto cuándo su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que están alrededor.

MÍNIMOS:

 

Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuándo su imagen (la altura) es menor que todas las imágenes de los puntos de alrededor.

Un mínimo se llamará absoluto cuándo su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que están alrededor.

PASOS PARA CALCULAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. Se deriva la función.
2. Se iguala a cero y resolvemos la función. A los resultados se les llama puntos críticos, pueden ser los puntos máximos o mínimos de una función.
3. Se analiza los valores cercanos a los puntos críticos en la derivada de una función:

• Si la pendiente de la función pasa de positivo a negativo, entonces tiene un máximo.
• Si la pendiente de la función pasa de negativa a positiva, entonces tiene un mínimo.
• Si la función no cambia de signo, entonces no hay puntos máximos ni mínimos.

     4. Obtener las coordenadas de los máximos y mínimos.

EJEMPLOS:

1.  f(x) = x³ − 3x + 2
   f'(x) = 3x² − 3 = 0      x = − 1      x = 1
   Candidatos a extremos: − 1 y 1.
   f''(x) = 6x
   f''(−1) = −6 < 0       Máximo
   f''(1) = 6 > 0            Mínimo
   f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4
   f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0
   Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

   

  2.  

Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f"( − 1) = 6 > 0      Mínimo

f"(1) = − 6 < 0      Máximo

f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2

f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2

Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

3. 

Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.

f(−2) = (−2)⁴ − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13

f(0) = 0⁴ − 8 · 0² + 3 = 3

f(2) = 2 ⁴ − 8 · 2² + 3 = − 13

Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)Mínimo(0, 3)