ESTADÍSTICAS

CONCLUSIONES:
Muchos alumnos de la prepa (más de la mitad de los de esta encuesta) llegan a la prepa en automóvil, ya sea propio o llevados por sus padres, y esto nos refleja de igual modo que es un gasto mayor, ya que se tiene que pagar gasolina. Además, algo que ha sido de gran ayuda para los alumnos que llegan a la prepa por medio del transporte público, es la implantación de los Bienevales, que son gratis y se pueden tramitar cada 6 meses (Cosa que también gran número de nuestros entrevistados que llegan en transporte público utilizan).

PROBLEMA EXPOSICIÓN

Un rectángulo tiene 420m de perímetro. ¿Cuales son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

MÁXIMOS:

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuándo su imagen (la altura) es mayor que todas las imágenes de los puntos de alrededor.

Un máximo se llamará absoluto cuándo su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que están alrededor.

MÍNIMOS:

 

Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuándo su imagen (la altura) es menor que todas las imágenes de los puntos de alrededor.

Un mínimo se llamará absoluto cuándo su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que están alrededor.

PASOS PARA CALCULAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. Se deriva la función.
2. Se iguala a cero y resolvemos la función. A los resultados se les llama puntos críticos, pueden ser los puntos máximos o mínimos de una función.
3. Se analiza los valores cercanos a los puntos críticos en la derivada de una función:

• Si la pendiente de la función pasa de positivo a negativo, entonces tiene un máximo.
• Si la pendiente de la función pasa de negativa a positiva, entonces tiene un mínimo.
• Si la función no cambia de signo, entonces no hay puntos máximos ni mínimos.

     4. Obtener las coordenadas de los máximos y mínimos.

EJEMPLOS:

1.  f(x) = x³ − 3x + 2
   f'(x) = 3x² − 3 = 0      x = − 1      x = 1
   Candidatos a extremos: − 1 y 1.
   f''(x) = 6x
   f''(−1) = −6 < 0       Máximo
   f''(1) = 6 > 0            Mínimo
   f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4
   f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0
   Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

   

  2.  

Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f"( − 1) = 6 > 0      Mínimo

f"(1) = − 6 < 0      Máximo

f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2

f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2

Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

3. 

Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.

f(−2) = (−2)⁴ − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13

f(0) = 0⁴ − 8 · 0² + 3 = 3

f(2) = 2 ⁴ − 8 · 2² + 3 = − 13

Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)Mínimo(0, 3)

Derivadas

La derivada de una constante es igual a cero

A)  f(x)= 1,563,213    y'= 0

B)  f(x)=4/7        y'=0

C)  f(x)= 25.5    y'=0

En estos casos todas las “ y' “ dan 0, ¿por qué? Por que en los ejemplos anteriores al no tener una “x”  con potencia, esta no se multiplica por el cociente, lo cual hace que sea que se multiplique por un “0” imaginario, lo cual da cero.

La derivada de x es 1

 A)  f(x)=x   y'=1

 En este caso la única opción que puede ser es es ese ejemplo ya que es la única forma que da a uno.
Estando “x” sola sabemos que imaginariamente hay un 1 antes de x y otro uno después de x, ya que si no estaría otro numero, ya sabiendo esto, se multiplica la potencia por el cociente la cual el resultado seria 1.
 
Derivada de una constante por una función

a) f(x)= 4x³

b) f(x)= -2x³

c) f(x)= -4x^-4

Para resolverlas, se multiplica el número por la potencia, en el caso del inciso a) seria multiplicar el 4 por la potencia ³ dando como resultado 12, teniendo ese resultado, a la x³ se le resta 1 a la potencia, es este caso quedaría x² . El resultado final sería 12x² .
En los siguientes casos se aplica lo mismo, solo utilizando la ley de signos, los resultados quedarían así:

a)    y^l= 12x2

b)    y^l= -6x²

c)     y^l= 16x^-5

La derivada de una suma

a) f(x)= x⁵+x⁶

b) f(x)=4x³+2x⁶

c) f(x)= -3x² +x⁴ -10x

Para resolverlas sería igual que en los casos anteriores, en el inciso a), se multiplicaría la potencia  ⁵ por el 1 de la x, aunque no lo tiene representado, sabemos que lo posee, quedando 5x, le restamos a la potencia 1 y quedaría 5x⁴, lo que falta es hacer lo mismo con la otra derivada, sabemos que x es positivo, y su potencia  ⁶ también es positivo entonces quedaría 6x⁵. Con las demás se hace lo mismo, en el caso del inciso c) lo único que cambia es que son 3 derivadas, pero el procedimiento es el mismo, sin importar cuantos tengamos que hacer, pero respetando las reglas de las derivadas y los signos de estas, dando como sus resultados:

a)    y^l= 5x⁴+6x⁵

b)    y^l= 12x²+12x⁵

c)     y^l= -6x+4x³-10

Derivada de una potencia

La derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

f(x)=vⁿ                                          f^I(x)=un^n-1 * u^I

Ejemplos:

·         f(x)=x⁴     f^I(x)=4x³

·         f(x)=x^-4    f^I(x)=-4x^-5

·         f(x)=x⁵    f^I(x)=5x⁴

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

f(x)=u*v            f^I(x)=u*v^I+u^I*v

Ejemplos:

·         f(x)=-5x                              f^I(x)=-5

·         f(x)=(x¹-1)(x³+3x)             f^I(x)=2x(x²+3x)+(x²-1)(3x²+3)

·         f(x)=(5x²-3)(x²+x+4)        f^I(x)=20x³+15x²+34x-3

Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

FÓRMULA


EJEMPLOS:

1°

RESULTADO=

2°

RESULTADO

3°

PROBLEMA 1- SESION 1.
Identifique una fraccion equivalente a 24/18.

A) 6/9

B)3/4

C)4/3

D)8/2

Solución: Lo que hice fue ver por que numero se dividia y me di cuenta que 4/3 multiplicado por 6 daba 24/18 y asi llegue a esta solucion.


PROBLEMA 2- SESION 2.
 Una profesora quiere hacer una presntacion teatral y pide material a sus alumnos para construir el escenario, le pidio a una alumna que llevara 9.50 pies de liston azul. Si la alumna sabe que 1 pie equivale a 3.305 metros cuantos centimetros pide en la papeleria?

A)28.975

B)31.147

C)289.750

D)311.475

Solucion: Lo que hice fue sacar el equivalente de 1 pie a metros y de metros a centimetros y ya despues hice la operacion para ver cuantos centimetros pidio, y asi llegue a la solucion.


PROBLEMA 3-. SESION 3.
 en una fiesta hay 7 hombresmenos que las mujeres presentes. Si los hombres solo saludan a las mujeres habra 1248 saludos ¿ Cuantas mujeres hay en la fiesta?

A) 32

B)39

C)178

D)185

Solucion: Lo que hice fue sacar un numero menos 7 que multiplicado me diera 1248 el cual fue 32 que son hombres y mujeres 39. y multiplique los hombres por las mujeres y ese fue el resultado que me dio.

Definición de Limites

Definición de limites:

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Limite de una función:

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. El punto c es punto de acumulación del dominio de la función.¹Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

Sustitución Directa

lim x¬ -1

3x² – 4
Se sustituye la x por el -1, se saca el cuadrado de este numero, se multiplica por tres y se le resta el 4, dando así como resultado: -1

lim x¬ -1

5x² – 3x
    2x
Igual que en la anterior, se sustituyen los valores de x por el -1 , se obtiene el cuadrado del digito, se multiplica, se le resta el 3multiplicado por x, y el resultado se divide entre 2 multiplicado por x, dando como resultado: -4

lim x¬ 2

4x² – 8x²

Se sustituyen los valores de x por el 2, se obtienen los cuadrados, luego las multiplicaciones de 4(4) y 8(4), una vez obtenidas, al resultado de 4(4) se le resta el de 8(4), dando como resultado: -16

Limite por aproximación

lim x¬ 4

4x² - 5

Se crean dos tablas como las siguientes donde se le dan valores inventados a x, se resuelve la ecuación anterior y dan como resultado y, al final, se podrá apreciar al número al cual es aproxima la ecuación

X		Y
3.8	52.76	4.3	68.96
3.6	55.84	4.2	65.56
3.99	58.68	4.1	62.24
3.999	58.96	4.01	59.32

Como se puede apreciar, la aproximación es 59

lim x¬ -1

3x² – 4

X		Y
.8	-2.08	1.3	1.07
.9	-1.57	1.2	0.32
.99	-1.05	1.1	-0.37
.999	-1.005	1.01	-0.93

Como se puede apreciar, la aproximación es a -1

lim x¬ 2

x² - 2
x – 3

X		Y
1.6	-0.4	2.5	-8.5
1.7	-0.684	2.4	-6.266
1.8	-1.0333	2.3	-4.7
1.9	-1.4636	2.2	-3.55
1.99	-1.9406	2.1	-2.67

Como se puede ver en la tabla, la aproximación es a 2

NOTA: En Limite de aproximación, se pueden agregar el número de valores que uno desee, con el fin de acercarse lo mayor posible a la aproximación 

Limite de una sucesión:

 

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando  tiende a .

Formalmente, se dice que la sucesión  tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:

si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural  tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural  mayor que  converjan a  cuando  crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

 

Problemas Cuadernillo

SESIÓN 2. PROBLEMA 6
Un refrigerador tiene un precio de $7,500, pero se oferta en $6,375 ¿Cuál es el porcentaje del descuento?
SOLUCIÓN:
Si 7500 equivale al 100% del costo, al restarle a esta cantidad la cantidad de 6375, la cantidad que nos de de resultado podemos sacar que porcentaje es del 100% con una regla de tres simples:
 7500-6375= 1,125

$7,500 = 100%
$1,125 = x
1,125*100= 12,500/7,500= 15%
EL RESULTADO ES UN DESCUENTO DEL 15%

SESIÓN 2. PROBLEMA 7
Tres hermanos elaboran adornos para una fiesta. Raúl realiza un adorno en 5 minutos, Carlos hace un adorno en dos minutos y María hace uno en 4. ¿Cuántos adornos completos harán en 20 minutos todos juntos?
SOLUCIÓN:
Si tenemos que Raúl se avienta un adorno en 5 minutos, si dividimos los 20 minutos entre 5 nos da que completaría 4 adornos (20/5=4)
Carlos es el más veloz al hacer uno en solo dos minutos. al dividirse los 20 entre dos nos da que haría 10 adornos (20/2=10)
Finalmente, María logra hacer un adorno en 4 minutos. Al hacerse la división nos deja que lograría hacer 5 adornos (20/4=5)

Raúl= 4

Carlos= 10

María= 5

4+10+5= 19 ADORNOS EN TOTAL

SESIÓN 2. PROBLEMA 10

Una enfermera toma la temperatura a un paciente extranjero en grados centígrados. Él le pide que le indique su temperatura en grados Fahrenheit. Si la temperatura es de 37°C. ¿Cuál es la temperatura del paciente en grados Fahrenheit? °C -> °F= °C*1.8+32

SOLUCIÓN:

Teniendo ya la formula de conversión, simplemente se hace una sustitución en la misma, la cuál nos arrojaría el siguiente resultado:

(37°C*1.8)+32

66.6+32= 98.60°F

EL RESULTADO ES DE 98.60°F

Asignaturas	Notas	Valor
1.- Español	A	4
2.- Ingles	A	4
3.- Historia	B	3
4.- Salud	A	4
5.- Arte	C	2
6.- Matemáticas	?	?
7.- Ciencias	?	?

En la tabla anterior muestra las notas de Carmen en 5 asignaturas de 7 que toma en undécimo grado. ¿Qué notas debe obtener Carmen en matemáticas y ciencia para que su promedio general sea de por lo menos 3.50?

           A)     B,B                  B) A,C                      C) A,B                   D) A,A

La respuesta es el inciso de D) ya que si se suman todos los valores de la tabla, más los que se sustituyen, en este caso 4,4 y se divide entre el número de valores, da como resultado un promedio mayor a 3.50

En la ruleta  hay dos colores rojo y negro, la probabilidad de que en una ruleta salga 10 veces seguidas el color rojo es muy pequeña. Habiendo salido 9 veces seguidas el rojo, un jugador apuesta al negro, ¿Qué probabilidad tiene de ganar?

A)     10%                 B)50%                      C) 70%                  D) 90%

La respuesta correcta es la A), ya que de 10 veces que salieron los colores, 9 fueron rojas, formando el 90%, por lo que solo quedaría el negro, formando el 10% restante

Un fotógrafo observa la siguiente escultura y decide tomarle foto.
¿Desde qué perspectiva tomó la fotografía?

A)     Superior     B) Frontal               C) Derecha         D) Izquierda

La respuesta seria la D), izquierda